Maths3ème

Arithmétique

3ème · Diviseurs, multiples, nombres premiers, PGCD et fractions irréductibles

1. Diviseurs et multiples

Définition

Soient $a$ et $b$ des entiers avec $b \neq 0$ . $b$ divise $a$ s'il existe un entier $k$ tel que :

a = b \times k

On dit alors que $a$ est un multiple de $b$ .

Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Critères de divisibilité

Théorème

Pour tout entier $a$ et tout entier $b > 0$ , il existe un unique couple $(q, r)$ tel que :

a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b

$q$ est le quotient, $r$ le reste. $b$ divise $a$ ⟺ $r = 0$ .

Définition

Un nombre premier est un entier $\geq 2$ qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.

Exemple : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Définition

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui les divise tous les deux.

Algorithme d'Euclide

Pour calculer $\text{PGCD}(a, b)$ avec $a > b$ : on effectue la division euclidienne $a = bq + r$ , puis :

\text{PGCD}(a, b) = \text{PGCD}(b, r)

On répète jusqu'à obtenir un reste nul : le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple : $\text{PGCD}(252, 105)$ : $252 = 105 \times 2 + 42$ , $105 = 42 \times 2 + 21$ , $42 = 21 \times 2 + 0$ ⟹ PGCD = 21.

Définition

Une fraction $\tfrac{a}{b}$ est irréductible si $\text{PGCD}(a, b) = 1$ (fraction simplifiée au maximum).

Méthode : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple : $\tfrac{252}{105} = \tfrac{12}{5}$ (en divisant par 21).

a = b \times q + r

\text{division euclidienne}

\text{Diviseur}

a = bk, k \in \mathbb{Z}

\text{Premier}

\text{exactement 2 diviseurs}

\text{PGCD}

\text{plus grand diviseur commun}

\text{Euclide}

\text{PGCD}(a,b) = \text{PGCD}(b,r)

\text{Irr\'eductible}

\text{PGCD}(a,b) = 1

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