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Maths3ème

Calcul littéral & équations

3ème · Développer, factoriser, identités remarquables et équations produit

1. Développer

Distributivité

k(a+b)=ka+kbk(a + b) = ka + kb
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Développer = transformer un produit en somme.

2. Identités remarquables

Les trois identités

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Exemples :

  • (x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25
  • (3x−2)2=9x2−12x+4(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4
  • x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

3. Factoriser

Trois méthodes

  • Facteur commun : 4x2+6x=2x(2x+3)4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)
  • Identité remarquable : x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5)
  • Facteur commun caché : (x−1)(3x+2)+(x−1)(x+7)=(x−1)(4x+9)(x-1)(3x+2) + (x-1)(x+7) = (x-1)(4x+9)

4. Équations du premier degré

Méthode

Pour résoudre ax+b=cx+dax + b = cx + d :

  1. Regrouper les xx d'un côté, les nombres de l'autre.
  2. Isoler xx en divisant par son coefficient.

Exemple : 5x−3=2x+9  ⟺  3x=12  ⟺  x=45x - 3 = 2x + 9 \iff 3x = 12 \iff x = 4.

5. Équation produit

Principe du produit nul

A×B=0  ⟺  A=0  ou  B=0A \times B = 0 \iff A = 0 \; \text{ou} \; B = 0

Exemple : (2x−7)(x+4)=0  ⟺  x=72 ou x=−4(2x-7)(x+4) = 0 \iff x = \tfrac{7}{2} \text{ ou } x = -4.

Astuce : quand une équation A=0A = 0 ne se résout pas directement, factoriser AA pour obtenir une équation produit.

Récapitulatif — À retenir absolument

k(a+b)k(a+b)ka+kbka+kb
(a+b)2(a+b)^2a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
(a−b)2(a-b)^2a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
(a+b)(a−b)(a+b)(a-b)a2−b2a^2-b^2
ax+b=0ax+b=0x=−bax=-\dfrac{b}{a}
A×B=0A\times B=0A=0 ou B=0A=0 \text{ ou } B=0

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