MathsTerminale Spé

Combinatoire & dénombrement

Terminale Spécialité Mathématiques · Factorielle, arrangements, combinaisons, binôme de Newton

1. Factorielle

Définition

Pour tout entier $n \geq 1$ :

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

Convention : $0! = 1$ . Exemples : $3!=6$ , $5!=120$ , $7!=5040$ .

k-uplets (avec répétition)

Nombre de k-uplets d'un ensemble à $n$ éléments :

n^k

Modèle : tirages successifs avec remise.

Arrangements (sans répétition)

Nombre de k-uplets d'éléments distincts :

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)

Modèle : tirages successifs sans remise. Cas $k=n$ : $A_n^n = n!$ (permutations).

Définition

Nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments :

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}

Modèle : tirages simultanés. Valeurs de base : $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ , $\binom{n}{1}=n$ .

Propriétés

Théorème

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Exemple : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ .

n!

n \times (n-1) \times \cdots \times 1

\text{Arrangements}

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}

\text{Combinaisons}

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

\text{Sym\'etrie}

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\text{Pascal}

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

\text{Newton}

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

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