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Continuité & TVI

Terminale Spécialité Mathématiques · Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, méthode de dichotomie

1. Continuité en un point

Définition

$f$ est continue en $a$ si :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

$f$ est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point.

Fonctions usuelles

Polynômes, $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ , $\sqrt{x}$ sont continues sur leur domaine.
Somme, produit, quotient, composée de continues est continue.
Dérivable ⟹ continue (réciproque fausse : $x \mapsto |x|$ en 0).

2. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que :

f(c) = k

Corollaire (TVI strictement monotone)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$ .

3. Méthode de dichotomie

Principe

Pour encadrer l'unique solution de $f(x) = k$ sur $[a,b]$ :

Calculer $m = \dfrac{a+b}{2}$ .
Si $f(m)$ et $f(a)$ sont de signes contraires à $k - f(m)$ , remplacer $b$ par $m$ , sinon $a$ par $m$ .
Répéter jusqu'à atteindre la précision voulue.

À chaque étape, l'amplitude de l'intervalle est divisée par 2.

4. Application aux suites définies par récurrence

Point fixe

Si $f$ est continue et $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors :

f(\ell) = \ell

La limite est solution de l'équation $f(x) = x$ (point fixe).

Récapitulatif — À retenir absolument

\text{Continuit\'e en } a

\lim_{x\to a} f(x) = f(a)

\text{D\'erivable}

\Rightarrow \text{continue}

\text{TVI}

f \text{ continue sur } [a,b]

\text{Corollaire TVI}

f \text{ continue et strictement monotone}

\text{Dichotomie}

\text{encadrer l'unique solution}

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