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Maths1ère Spé

Dérivation

1ère Spécialité Mathématiques · Cours concis · Sans démonstration

1. Définition du nombre dérivé

Définition — Nombre dérivé en a

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et a∈Ia \in I. Le nombre dérivé de ff en aa est, s'il existe :

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

f′(a)f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa.

Propriété — Équation de la tangente en a

y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a)

2. Formules de dérivation

Tableau des dérivées usuelles (à retenir absolument)

f(x)f(x)f′(x)f'(x)Domaine
k (constante)k \text{ (constante)}00R\mathbb{R}
xx11R\mathbb{R}
xn  (n∈N∗)x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)nxn−1nx^{n-1}R\mathbb{R}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
exe^xexe^xR\mathbb{R}
ln⁡x\ln x1x\dfrac{1}{x}]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos xR\mathbb{R}
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin xR\mathbb{R}

3. Règles de calcul

Propriété — Opérations sur les dérivées

Soient uu et vv deux fonctions dérivables, k∈Rk \in \mathbb{R} :

FonctionDérivée
kukuku′ku'
u+vu + vu′+v′u' + v'
u×vu \times vu′v+uv′u'v + uv'
uv  (v≠0)\dfrac{u}{v} \;(v \neq 0)u′v−uv′v2\dfrac{u'v - uv'}{v^2}
1v  (v≠0)\dfrac{1}{v} \;(v \neq 0)−v′v2\dfrac{-v'}{v^2}

4. Dérivée d'une fonction composée

Propriété — Dérivée de f(ax + b)

Si ff est dérivable et a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} :

[f(ax+b)]′=a f′(ax+b)\bigl[f(ax+b)\bigr]' = a \ f'(ax+b)

Propriété — Dérivée de f(u) (admise)

Si uu est dérivable :

[f(u)]′=u′×f′(u)\bigl[f(u)\bigr]' = u' \times f'(u)
ComposéeDérivée
unu^nnu′un−1nu'u^{n-1}
eue^uu′euu'e^u
ln⁡u  (u>0)\ln u \;(u>0)u′u\dfrac{u'}{u}
u  (u>0)\sqrt{u} \;(u>0)u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
sin⁡u\sin uu′cos⁡uu'\cos u
cos⁡u\cos u−u′sin⁡u-u'\sin u

5. Dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit ff dérivable sur un intervalle II :

f′(x)>0 sur If strictement croissante sur If′(x)<0 sur If strictement deˊcroissante sur If′(x)=0 sur If constante sur I\begin{array}{|c|c|} \hline f'(x) > 0 \text{ sur } I & f \text{ strictement croissante sur } I \\ \hline f'(x) < 0 \text{ sur } I & f \text{ strictement décroissante sur } I \\ \hline f'(x) = 0 \text{ sur } I & f \text{ constante sur } I \\ \hline \end{array}

Méthode — Dresser un tableau de variations

  1. Calculer f′(x)f'(x)
  2. Résoudre f′(x)=0f'(x) = 0 et étudier le signe de f′(x)f'(x)
  3. En déduire les variations de ff (croissante où f′>0f'>0, décroissante où f′<0f'<0)
  4. Calculer les valeurs de ff aux points critiques (extremums)

6. Extremums locaux

Propriété — Condition d'extremum

Si f′(a)=0f'(a) = 0 et si f′f' change de signe en aa :

  • f′f' passe de ++ à −- en aa → maximum local en aa
  • f′f' passe de −- à ++ en aa → minimum local en aa

⚠️ Si f′(a)=0f'(a) = 0 sans changement de signe : pas d'extremum (point d'inflexion).

Récapitulatif — À retenir absolument

Nombre deˊriveˊ\text{Nombre dérivé}f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Tangente en a\text{Tangente en } ay=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a)+f(a)
(uv)′(uv)'u′v+uv′u'v + uv'
(uv)′\left(\tfrac{u}{v}\right)'u′v−uv′v2\dfrac{u'v - uv'}{v^2}
(f(u))′(f(u))'u′f′(u)u'f'(u)
(eu)′(e^u)'u′eu(ln⁡u)′=u′uu'e^u \quad (\ln u)' = \tfrac{u'}{u}
f′>0f'>0f croissantef \text{ croissante}
f′(a)=0 ch. signef'(a)=0 \text{ ch. signe}extremum local en a\text{extremum local en } a

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