Maths2nde

Ensembles de nombres & intervalles

2nde · Ensembles N, Z, D, Q, R, intervalles, valeur absolue

1. Les ensembles de nombres

Inclusions fondamentales

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

$\mathbb{N}$ : entiers naturels $0, 1, 2, 3, \dots$
$\mathbb{Z}$ : entiers relatifs $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\mathbb{D}$ : décimaux (écriture finie) — ex. $2{,}75$
$\mathbb{Q}$ : rationnels $\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*$
$\mathbb{R}$ : réels (inclut aussi $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ …)

Irrationnels

Un nombre est irrationnel s'il est dans $\mathbb{R}$ mais pas dans $\mathbb{Q}$ .

Exemples : $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e$ .

Notations

Les crochets sont fermés vers l'intérieur (bornes incluses), ouverts vers l'extérieur.

Opérations sur les intervalles

Exemple : $[-2;5] \cap [3;8] = [3;5]$ et $[-2;5] \cup [3;8] = [-2;8]$ .

Définition

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Interprétation : $|x|$ est la distance de $x$ à 0. $|x - a|$ est la distance de $x$ à $a$ .

|x - a| \leq r \iff x \in [a-r\,;\,a+r]

\mathbb{N}

\text{entiers naturels}

\mathbb{Z}

\text{entiers relatifs}

\mathbb{D}

\text{d\'ecimaux}

\mathbb{Q}

\text{rationnels } a/b

\mathbb{R}

\text{r\'eels}

[a;b]

a \leq x \leq b

]a;b[

a < x < b

|x|

\text{distance \`a } 0

Tu veux travailler ce chapitre avec un tuteur grande école ?