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Maths4ème

Équations du 1er degré

4ème · Résolution, mise en équation et vérification

1. Équation et solution

Vocabulaire

  • Une équation est une égalité comportant une inconnue (souvent xx).
  • Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
  • Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.

2. Règles de manipulation

Opérations sur une équation

On peut, sans changer les solutions :

  • Ajouter (ou soustraire) le même nombre aux deux membres.
  • Multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre non nul.
a=b  ⟺  a+c=b+ca = b \iff a + c = b + c
a=b  ⟺  a×c=b×c(c≠0)a = b \iff a \times c = b \times c \quad (c \neq 0)

3. Méthode de résolution

Étapes

  1. Développer et réduire chaque membre.
  2. Regrouper les termes avec xx d'un côté, les nombres de l'autre.
  3. Isoler xx en divisant par son coefficient.
  4. Vérifier la solution en remplaçant dans l'équation initiale.

Exemple : résoudre 4x−5=2x+74x - 5 = 2x + 7.

4x−2x=7+5⇒2x=12⇒x=64x - 2x = 7 + 5 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6

Vérification : 4×6−5=194 \times 6 - 5 = 19 et 2×6+7=192 \times 6 + 7 = 19 ✓.

4. Équations avec parenthèses ou fractions

Méthode

  • Parenthèses : développer d'abord.
  • Fractions : multiplier les deux membres par un dénominateur commun pour les éliminer.

Exemple : x3+2=x+42\tfrac{x}{3} + 2 = \tfrac{x+4}{2} ⟹ (on multiplie par 6) 2x+12=3(x+4)⇒2x+12=3x+12⇒x=02x + 12 = 3(x+4) \Rightarrow 2x + 12 = 3x + 12 \Rightarrow x = 0.

5. Mise en équation d'un problème

Méthode

  1. Choisir l'inconnue et la nommer (souvent xx).
  2. Traduire les données de l'énoncé en équation.
  3. Résoudre l'équation.
  4. Conclure en revenant au problème initial et en vérifiant la cohérence.

Récapitulatif — À retenir absolument

a=ba = ba+c=b+ca + c = b + c
a=ba = ba×c=b×c  (c≠0)a \times c = b \times c\; (c \neq 0)
ax+b=0ax + b = 0x=−bax = -\dfrac{b}{a}
ax+b=cx+dax + b = cx + dregrouper x d’un coˆteˊ\text{regrouper x d'un c\^ot\'e}

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