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Maths1ère Spé

Fonctions trigonométriques

1ère Spécialité Mathématiques · Étude de sin, cos, tan — variations, dérivées, graphes

1. Fonction cosinus

Propriétés de cos

  • Domaine : R\mathbb{R}
  • Parité : paire — cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)
  • Période : 2π2\pi
  • Valeurs : cos⁡x∈[−1 ; 1]\cos x \in [-1\,;\,1] pour tout xx

Tableau de variations de cos sur [0 ; 2π]

x0π2πcos⁡′=−sin⁡−+cos⁡x1↘−1↗1\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & \pi & & 2\pi \\ \hline \cos' = -\sin & & {\color{red}-} & & {\color{green}+} & \\ \hline \cos x & 1 & \searrow & -1 & \nearrow & 1 \\ \hline \end{array}

Dérivée

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

2. Fonction sinus

Propriétés de sin

  • Domaine : R\mathbb{R}
  • Parité : impaire — sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x (symétrie par rapport à l'origine)
  • Période : 2π2\pi
  • Valeurs : sin⁡x∈[−1 ; 1]\sin x \in [-1\,;\,1] pour tout xx

Tableau de variations de sin sur [−π/2 ; 3π/2]

x−π2π23π2sin⁡′=cos⁡+−sin⁡x−1↗1↘−1\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\tfrac{\pi}{2} & & \tfrac{\pi}{2} & & \tfrac{3\pi}{2} \\ \hline \sin' = \cos & & {\color{green}+} & & {\color{red}-} & \\ \hline \sin x & -1 & \nearrow & 1 & \searrow & -1 \\ \hline \end{array}

Dérivée

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x

3. Fonction tangente

Propriétés de tan

  • Définition : tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}
  • Domaine : R∖{π2+kπ,  k∈Z}\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}
  • Parité : impaire — tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x
  • Période : π\pi
  • Asymptotes verticales en x=π2+kπx = \dfrac{\pi}{2} + k\pi

Tableau de variations de tan sur ]−π/2 ; π/2[

x−π2π2tan⁡x−∞↗+∞\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\tfrac{\pi}{2} & & \tfrac{\pi}{2} \\ \hline \tan x & -\infty & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array}

tan est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.

Dérivée

(tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

4. Dérivées des fonctions composées

Propriété — Composées avec u dérivable

FonctionDérivée
sin⁡u\sin uu′cos⁡uu'\cos u
cos⁡u\cos u−u′sin⁡u-u'\sin u
tan⁡u\tan uu′cos⁡2u\dfrac{u'}{\cos^2 u}
sin⁡(ax+b)\sin(ax+b)acos⁡(ax+b)a\cos(ax+b)
cos⁡(ax+b)\cos(ax+b)−asin⁡(ax+b)-a\sin(ax+b)

5. Résoudre des équations trigonométriques

Méthode — Équations de base

cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a

x=a+2kπoux=−a+2kπ(k∈Z)x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})

sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin a

x=a+2kπoux=π−a+2kπ(k∈Z)x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})

tan⁡x=tan⁡a\tan x = \tan a

x=a+kπ(k∈Z)x = a + k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})

Récapitulatif — À retenir absolument

(cos⁡x)′(\cos x)'−sin⁡x-\sin x
(sin⁡x)′(\sin x)'cos⁡x\cos x
(tan⁡x)′(\tan x)'1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}
cos : paire\text{cos : paire}cos⁡(−x)=cos⁡x, peˊriode 2π\cos(-x)=\cos x \text{, période }2\pi
sin : impaire\text{sin : impaire}sin⁡(−x)=−sin⁡x, peˊriode 2π\sin(-x)=-\sin x \text{, période }2\pi
tan : impaire\text{tan : impaire}tan⁡(−x)=−tan⁡x, peˊriode π\tan(-x)=-\tan x \text{, période }\pi
cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos ax=±a+2kπx=\pm a + 2k\pi
sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin ax=a+2kπ ou π−a+2kπx=a+2k\pi \text{ ou } \pi-a+2k\pi

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