Maths4ème

Fractions

4ème · Somme, différence, produit, quotient et comparaison de fractions

1. Fractions égales

Propriété fondamentale

Multiplier (ou diviser) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k} \quad (k \neq 0)

Exemple : $\tfrac{12}{18} = \tfrac{2}{3}$ (en divisant par 6).

Même dénominateur

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}

Dénominateurs différents

Méthode : réduire au même dénominateur.

\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 7} + \dfrac{5 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{14}{21} + \dfrac{15}{21} = \dfrac{29}{21}

Règle

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Astuce : simplifier avant de multiplier.

\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} \times \dfrac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} = \dfrac{1}{6}

Règle

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad (c \neq 0)

Exemple : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$ .

Méthodes

Même dénominateur : le plus grand numérateur donne la plus grande fraction.
Même numérateur : le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.
Sinon : réduire au même dénominateur, puis comparer.
Avec 1 : $\tfrac{a}{b} < 1$ si $a < b$ (numérateur plus petit que dénominateur, positifs).

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}

\text{m\^eme fraction}

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b}

\dfrac{a+c}{b}

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}

\dfrac{ac}{bd}

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

\text{Oppos\'e}

-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b}

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