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Calcul intégral

Terminale Spécialité Mathématiques · Intégrales, propriétés, valeur moyenne et intégration par parties

1. Définition et théorème fondamental

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b] :

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b

Interprétation : si f≥0f \geq 0, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx est l'aire sous la courbe entre x=ax=a et x=bx=b (en unités d'aire).

2. Propriétés

Relations fondamentales

  • Nullité : ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0
  • Orientation : ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx
  • Relation de Chasles : ∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f
  • Linéarité : ∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g
  • Positivité : si f≥0f \geq 0 sur [a,b][a,b] et a≤ba \leq b, alors ∫abf≥0\int_a^b f \geq 0
  • Comparaison : si f≤gf \leq g sur [a,b][a,b] et a≤ba \leq b, alors ∫abf≤∫abg\int_a^b f \leq \int_a^b g

3. Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne de ff continue sur [a,b][a,b] est :

μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

Interprétation : μ\mu est la hauteur du rectangle de base [a,b][a,b] et de même aire que sous la courbe.

4. Aire entre deux courbes

Formule

Si f≥gf \geq g sur [a,b][a,b], l'aire entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g est :

A=∫ab(f(x)−g(x)) dx\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx

5. Intégration par parties (IPP)

Formule

Si uu et vv sont de classe C1\mathcal{C}^1 sur [a,b][a,b] :

∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx

Stratégie : choisir v′v' facile à primitiver et uu facile à dériver. Exemple : ∫xex dx\int x e^x\,dx avec u=exu = e^x, v′=1v' = 1... non avec u′=ex,v=xu'=e^x, v=x : =xex−ex+C= xe^x - e^x + C.

Récapitulatif : à retenir absolument

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dxF(b)−F(a)F(b) - F(a)
∫aaf\int_a^a f00
∫abf=−∫baf\int_a^b f = -\int_b^a forientation\text{orientation}
Chasles\text{Chasles}∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f
Lineˊariteˊ\text{Lin\'earit\'e}∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g
Valeur moyenne\text{Valeur moyenne}μ=1b−a∫abf\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f
IPP\text{IPP}∫u′v=[uv]−∫uv′\int u'v = [uv] - \int uv'

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