AppelerS'inscrire
Ressources
MathsTerminale Spé

Limites de fonctions

Terminale Spécialité Mathématiques · Limites en un point, en l'infini, asymptotes et croissances comparées

1. Limite en l'infini

Définitions intuitives

  • lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell : f(x)f(x) se rapproche de ℓ\ell quand xx devient très grand.
  • lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty : f(x)f(x) dépasse tout seuil.
  • Limites usuelles : lim⁡x→+∞1xn=0\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0, lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty.

2. Limite en un point

Limite finie

Si ff est continue en aa : lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x) = f(a).

Limite infinie (asymptote verticale)

Si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty, la droite x=ax=a est asymptote verticale.

Exemple : lim⁡x→0+1x=+∞\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty et lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty.

3. Opérations et formes indéterminées

Règles

Somme, produit et quotient fonctionnent comme pour les suites. Quatre formes indéterminées :

∞−∞;0×∞;∞∞;00\infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \dfrac{\infty}{\infty} \quad ; \quad \dfrac{0}{0}

Méthodes : factoriser le terme dominant, utiliser l'expression conjuguée, croissances comparées.

4. Croissances comparées

Théorèmes

Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* :

lim⁡x→+∞exxn=+∞;lim⁡x→−∞xnex=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0
lim⁡x→+∞ln⁡xxn=0;lim⁡x→0+xnln⁡x=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0

En résumé : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.

5. Asymptotes

Types d'asymptotes

  • Horizontale : lim⁡x→±∞f(x)=ℓ\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \ell ⟹ y=ℓy = \ell asymptote.
  • Verticale : lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty ⟹ x=ax = a asymptote.
  • Oblique : si lim⁡x→+∞[f(x)−(ax+b)]=0\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0, alors y=ax+by=ax+b asymptote oblique.

6. Théorèmes de comparaison

Gendarmes et comparaison

  • Gendarmes : g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) et lim⁡g=lim⁡h=ℓ\lim g = \lim h = \ell ⟹ lim⁡f=ℓ\lim f = \ell.
  • Si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) et lim⁡g=+∞\lim g = +\infty, alors lim⁡f=+∞\lim f = +\infty.

Récapitulatif — À retenir absolument

lim⁡x→+∞1x\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}00
lim⁡x→0+1x\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}+∞+\infty
lim⁡x→+∞exxn\lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}+∞+\infty
lim⁡x→+∞ln⁡xxn\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}00
lim⁡x→0xln⁡x\lim_{x\to 0} x \ln x00
Asymptote horizontale\text{Asymptote horizontale}lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell
Asymptote verticale\text{Asymptote verticale}lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty
Gendarmes\text{Gendarmes}g≤f≤h,lim⁡g=lim⁡hg \leq f \leq h, \lim g = \lim h

Tu veux travailler ce chapitre avec un tuteur grande école ?

Réserver ma 1h offerte →