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Limites de fonctions

Terminale Spécialité Mathématiques · Limites en un point, en l'infini, asymptotes et croissances comparées

1. Limite en l'infini

Définitions intuitives

$\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell$ : $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ devient très grand.
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$ : $f(x)$ dépasse tout seuil.
Limites usuelles : $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ , $\lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty$ .

Limite finie

Si $f$ est continue en $a$ : $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ .

Limite infinie (asymptote verticale)

Si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ , la droite $x=a$ est asymptote verticale.

Exemple : $\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ .

Règles

Somme, produit et quotient fonctionnent comme pour les suites. Quatre formes indéterminées :

\infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \dfrac{\infty}{\infty} \quad ; \quad \dfrac{0}{0}

Méthodes : factoriser le terme dominant, utiliser l'expression conjuguée, croissances comparées.

Théorèmes

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0

En résumé : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.

Types d'asymptotes

Horizontale : $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \ell$ ⟹ $y = \ell$ asymptote.
Verticale : $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ ⟹ $x = a$ asymptote.
Oblique : si $\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ , alors $y=ax+b$ asymptote oblique.

Gendarmes et comparaison

Gendarmes : $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = \ell$ ⟹ $\lim f = \ell$ .
Si $f(x) \geq g(x)$ et $\lim g = +\infty$ , alors $\lim f = +\infty$ .

\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}

0

\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}

+\infty

\lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}

+\infty

\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}

0

\lim_{x\to 0} x \ln x

0

\text{Asymptote horizontale}

\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell

\text{Asymptote verticale}

\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty

\text{Gendarmes}

g \leq f \leq h, \lim g = \lim h

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