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Logarithme népérien

Terminale Spécialité Mathématiques · Définition, propriétés algébriques, variations et dérivée

1. Définition

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle :

\ln : \; ]0;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}

y = \ln x \iff x = e^y \quad (x > 0)

Relations fondamentales

Pour tous $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \quad ; \quad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a

\ln(a^n) = n \ln a \quad ; \quad \ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a

Dérivée et variations

(\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0 \quad \text{sur } \; ]0;+\infty[

$\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline \ln' = 1/x & & {\color{green}+} & \\ \hline \ln x & -\infty & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array}

Limites

\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0

Formule

Si $u$ est dérivable et $u > 0$ :

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

Exemple : $(\ln(x^2+1))' = \dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Méthode

Pour $a, b > 0$ :

\ln a = \ln b \iff a = b

\ln a < \ln b \iff a < b

\ln a = b \iff a = e^b

Attention : toujours vérifier la condition de positivité avant de résoudre.

\ln(ab)

\ln a + \ln b

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)

\ln a - \ln b

\ln(a^n)

n \ln a

\ln 1 = 0,\; \ln e

1

(\ln x)'

\dfrac{1}{x}

(\ln u)'

\dfrac{u'}{u}

\lim_{x\to 0^+} \ln x

-\infty

\lim_{x\to +\infty} \ln x

+\infty

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