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Loi binomiale — Terminale

Terminale Spécialité Mathématiques · Schéma de Bernoulli, loi binomiale B(n,p), espérance et variance

1. Épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité $p$ ) ou échec ( $1-p$ ).

On définit $X$ par $X=1$ si succès, $X=0$ sinon. $X$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ :

E(X) = p \quad ; \quad V(X) = p(1-p)

2. Schéma de Bernoulli

Définition

La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est un schéma de Bernoulli.

On compte le nombre de succès : c'est une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0, 1, \dots, n\}$ .

3. Loi binomiale

Définition

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n,p)$ , si elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves.

4. Espérance et variance

Formules

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

E(X) = np

V(X) = np(1-p) \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Démonstration : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ où les $X_i$ sont des Bernoulli indépendantes.

5. Calculs pratiques

Probabilités cumulées

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

À la calculatrice : BinomFRép(n, p, k) donne $P(X \leq k)$ .

Exemple

On lance 10 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de Pile : $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}5)$ .

$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0{,}5)^{10} \approx 0{,}246$
$E(X) = 5$ , $V(X) = 2{,}5$ , $\sigma(X) \approx 1{,}58$

Récapitulatif — À retenir absolument

P(X=k)

\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

E(X)

np

V(X)

np(1-p)

\sigma(X)

\sqrt{np(1-p)}

\text{Bernoulli}

E(X)=p,\; V(X)=p(1-p)

P(X \leq k)

\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

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