Maths4ème

Triangles, milieux & parallèles

4ème · Théorème des milieux, réciproque et droite des milieux

1. Théorème des milieux

Énoncé

Dans un triangle $ABC$ , si $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ , alors :

La droite $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ .
$IJ = \dfrac{BC}{2}$ .

2. Réciproque du théorème

Énoncé

Dans un triangle $ABC$ , si $I$ est le milieu de $[AB]$ et si la droite passant par $I$ et parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $J$ , alors $J$ est le milieu de $[AC]$ .

Usage : démontrer qu'un point est le milieu d'un segment.

3. Droite des milieux

Synthèse

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est appelée droite des milieux. Elle est :

parallèle au troisième côté,
de longueur égale à la moitié de celui-ci.

4. Applications

Types de problèmes

Calculer une longueur : utiliser $IJ = \tfrac{1}{2}BC$ .
Démontrer un parallélisme : utiliser le théorème direct.
Démontrer qu'un point est un milieu : utiliser la réciproque.
Parallélogrammes : dans un quadrilatère, le quadrilatère formé par les milieux des côtés est toujours un parallélogramme.

5. Exemple type

Exercice

Dans un triangle $ABC$ , $BC = 12$ cm. $I$ milieu de $[AB]$ , $J$ milieu de $[AC]$ .

Alors $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \dfrac{12}{2} = 6$ cm.

Si $(BC)$ est horizontale, alors $(IJ)$ est aussi horizontale.

Récapitulatif — À retenir absolument

\text{Droite des milieux}

// \text{3\`eme c\^ot\'e et longueur moiti\'e}

\text{R\'eciproque}

// \text{+ milieu d'un c\^ot\'e} \Rightarrow \text{milieu autre c\^ot\'e}

\text{IJ}

\tfrac{1}{2} BC

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