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Primitives & équations différentielles

Terminale Spécialité Mathématiques · Recherche de primitives et résolution de y' = ay + b

1. Définition d'une primitive

Définition

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et :

F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I

Deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante :

F \text{ et } G \text{ primitives} \Rightarrow G(x) = F(x) + C

Primitive vérifiant une condition initiale

Il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$ .

Tableau

Théorème

Les solutions de $y' = ay$ (avec $a \in \mathbb{R}^*$ ) sont :

y(x) = C e^{ax} \quad (C \in \mathbb{R})

Avec condition initiale $y(x_0) = y_0$ : $C = y_0 e^{-ax_0}$ .

Théorème

Pour $a \neq 0$ , les solutions de $y' = ay + b$ sont :

y(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a} \quad (C \in \mathbb{R})

La solution particulière constante est $y_p = -\dfrac{b}{a}$ .

Applications

Désintégration radioactive : $N'(t) = -\lambda N(t)$ , solution $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Refroidissement (Newton) : $T' = -k(T - T_0)$ .
Croissance de population : $y' = ky$ .

\int x^n

\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

\int \dfrac{1}{x}

\ln|x| + C

\int e^x

e^x + C

\int \cos x

\sin x + C

\int \sin x

-\cos x + C

y' = ay

y = C e^{ax}

y' = ay + b

y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}

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