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Primitives & équations différentielles

Terminale Spécialité Mathématiques · Recherche de primitives et résolution de y' = ay + b

1. Définition d'une primitive

Définition

FF est une primitive de ff sur II si FF est dérivable sur II et :

F′(x)=f(x)pour tout x∈IF'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I

Deux primitives de ff diffèrent d'une constante :

F et G primitives⇒G(x)=F(x)+CF \text{ et } G \text{ primitives} \Rightarrow G(x) = F(x) + C

Primitive vérifiant une condition initiale

Il existe une unique primitive FF telle que F(x0)=y0F(x_0) = y_0.

2. Primitives usuelles

Tableau

f(x)f(x)F(x)F(x) (à une constante près)
xn  (n≠−1)x^n \; (n \neq -1)xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
1x\dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣\ln|x|
1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}2x2\sqrt{x}
exe^xexe^x
cos⁡x\cos xsin⁡x\sin x
sin⁡x\sin x−cos⁡x-\cos x
eax+be^{ax+b}1aeax+b\dfrac{1}{a}e^{ax+b}
u′unu' u^nun+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}
u′u\dfrac{u'}{u}ln⁡∣u∣\ln|u|
u′euu' e^ueue^u

3. Équation différentielle y′=ayy' = ay

Théorème

Les solutions de y′=ayy' = ay (avec a∈R∗a \in \mathbb{R}^*) sont :

y(x)=Ceax(C∈R)y(x) = C e^{ax} \quad (C \in \mathbb{R})

Avec condition initiale y(x0)=y0y(x_0) = y_0 : C=y0e−ax0C = y_0 e^{-ax_0}.

4. Équation y′=ay+by' = ay + b

Théorème

Pour a≠0a \neq 0, les solutions de y′=ay+by' = ay + b sont :

y(x)=Ceax−ba(C∈R)y(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a} \quad (C \in \mathbb{R})

La solution particulière constante est yp=−bay_p = -\dfrac{b}{a}.

Applications

  • Désintégration radioactive : N′(t)=−λN(t)N'(t) = -\lambda N(t), solution N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}.
  • Refroidissement (Newton) : T′=−k(T−T0)T' = -k(T - T_0).
  • Croissance de population : y′=kyy' = ky.

Récapitulatif — À retenir absolument

∫xn\int x^nxn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫1x\int \dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln|x| + C
∫ex\int e^xex+Ce^x + C
∫cos⁡x\int \cos xsin⁡x+C\sin x + C
∫sin⁡x\int \sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
y′=ayy' = ayy=Ceaxy = C e^{ax}
y′=ay+by' = ay + by=Ceax−bay = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}

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