Maths1ère SpéChapitre 5

Probabilités

1ère Spécialité Mathématiques · Cours concis · Sans démonstration

1. Probabilité conditionnelle

Définition — Probabilité de A sachant B

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(B) \neq 0$ .

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

On lit : probabilité de A sachant que B est réalisé.

Propriété — Formule de multiplication (admise)

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)

💡 Cette formule se lit directement sur un arbre pondéré : on multiplie les probabilités le long des branches.

Définition — Partition

Des événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ si :

Ils sont deux à deux incompatibles : $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j$
Leur réunion couvre tout l'univers : $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$
Ils sont de probabilité non nulle

Cas le plus courant : $A$ et $\overline{A}$ forment toujours une partition de $\Omega$ .

Propriété — Probabilités totales (admise)

Si $A_1, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ et $E$ est un événement quelconque :

P(E) = P(E \cap A_1) + P(E \cap A_2) + \cdots + P(E \cap A_n)

En développant avec la formule de multiplication :

P(E) = P(A_1) \times P_{A_1}(E) + P(A_2) \times P_{A_2}(E) + \cdots + P(A_n) \times P_{A_n}(E)

💡 On somme les probabilités de toutes les branches menant à $E$ dans l'arbre.

Méthode — Cas avec deux événements A et Ā

P(E) = P(A) \times P_A(E) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(E)

Définition — Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Propriété — Conséquence (admise)

Si $A$ et $B$ sont indépendants et de probabilités non nulles :

P_A(B) = P(B) \qquad \text{et} \qquad P_B(A) = P(A)

La réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Propriété

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors les paires suivantes le sont aussi :

\overline{A}

B

A

\overline{B}

\overline{A}

\overline{B}

\text{Prob. cond.}

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

\text{Intersection}

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

\text{Prob. totales}

P(E) = \sum_i P(A_i) \times P_{A_i}(E)

\text{Indépendance}

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

\text{Indép. \Rightarrow}

P_A(B) = P(B) \text{ et } P_B(A) = P(A)

\text{Contraires}

\overline{A}, B \text{ et } A, \overline{B} \text{ aussi indép.}

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