Maths2nde

Probabilités

2nde · Expériences aléatoires, loi de probabilité, équiprobabilité, réunion et intersection

1. Expérience aléatoire

Vocabulaire

Expérience aléatoire : expérience dont l'issue ne peut pas être prédite (dé, pièce, carte…).
Univers $\Omega$ : ensemble des issues (résultats possibles).
Événement : sous-ensemble de $\Omega$ .
Événement élémentaire : événement à une seule issue.
Événement impossible : $\emptyset$ . Événement certain : $\Omega$ .

Définition

Une loi de probabilité associe à chaque issue $\omega_i$ un réel $p_i \in [0;1]$ tel que :

\sum_{i=1}^n p_i = 1

La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent :

P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i

On a toujours $0 \leq P(A) \leq 1$ , $P(\emptyset) = 0$ , $P(\Omega) = 1$ .

Définition

Une loi est équiprobable si toutes les issues ont la même probabilité $\tfrac{1}{n}$ . Alors :

P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

Exemple : avec un dé équilibré, $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ .

Intersection, réunion, contraire

Formules

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(\bar A) = 1 - P(A)

Si $A$ et $B$ sont incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Représenter une expérience

Arbre de probabilité : utile pour plusieurs étapes successives. On multiplie les probabilités le long des branches.
Tableau à double entrée : pratique quand deux caractères sont croisés (ex. sexe × sport).

P(\Omega)

1

P(\emptyset)

0

\text{\'Equiprobabilit\'e}

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

P(A \cup B)

P(A) + P(B) - P(A \cap B)

\text{Incompatibles}

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

P(\bar A)

1 - P(A)

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