Maths3ème

Probabilités — 3ème

3ème · Expériences aléatoires, équiprobabilité et expériences à deux épreuves

1. Expérience aléatoire

Vocabulaire

Expérience aléatoire : expérience dont le résultat ne peut pas être prédit (dé, tirage, pièce…).
Issue : résultat possible de l'expérience.
Événement : ensemble d'issues.
Événement élémentaire : événement à une seule issue.

Définition

La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est un nombre de $[0\,;\,1]$ qui mesure sa « chance » de se réaliser.

0 \leq P(A) \leq 1 \quad ; \quad P(\emptyset) = 0 \quad ; \quad P(\Omega) = 1

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Formule

Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) :

P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables \`a } A}{\text{nombre total d'issues}}

Exemples :

Dé équilibré : $P(\text{obtenir 6}) = \tfrac{1}{6}$ , $P(\text{pair}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ .
Tirage d'une carte : $P(\text{roi}) = \tfrac{4}{32} = \tfrac{1}{8}$ .

Définition

L'événement contraire de $A$ , noté $\bar A$ , se réalise quand $A$ ne se réalise pas.

P(\bar A) = 1 - P(A)

Exemple : $P(\text{pas six}) = 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$ .

Arbre de probabilités

Quand une expérience se décompose en deux étapes, on représente les possibilités par un arbre :

Sur chaque branche, on écrit la probabilité.
La probabilité d'un chemin (succession d'issues) est le produit des probabilités des branches.
La somme des probabilités partant d'un même nœud vaut 1.

Exemple : tirer successivement 2 billes dans une urne, avec ou sans remise — l'arbre donne toutes les combinaisons possibles.

P(A) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}

\text{\'equiprobabilit\'e}

P(\bar A)

1 - P(A)

P(\Omega) = 1,\; P(\emptyset)

0

0 \leq P(A)

\leq 1

\text{Arbre}

\text{multiplier le long d'une branche}

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