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Maths1ère SpéChapitre 3

Produit scalaire

1ère Spécialité Mathématiques · Cours concis · Sans démonstration

1. Norme d'un vecteur

Définition — Norme

La norme du vecteur u⃗\vec{u}, notée ∥u⃗∥\|\vec{u}\|, est la longueur de tout segment représentant u⃗\vec{u}.

Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y)\vec{u}(x\,;\,y) :

∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}

Propriétés (admises)

  • ∥ku⃗∥=∣k∣×∥u⃗∥\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\| pour tout réel kk
  • ∥u⃗∥=0⇔u⃗=0⃗\|\vec{u}\| = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}
  • ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| (inégalité triangulaire)

2. Produit scalaire — Expressions

Expression 1 — Avec un angle

Propriété fondamentale

Pour tous points distincts AA, BB, CC :

AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)

Plus généralement, pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})

Expression 2 — Avec le projeté orthogonal

Définition — Produit scalaire (via projeté)

Soient OO, AA, BB trois points (O≠AO \neq A) et HH le projeté orthogonal de BB sur (OA)(OA) :

OA→⋅OB→=OA→⋅OH→={OA×OHsi OA→ et OH→ meˆme sens−OA×OHsinon\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} = \begin{cases} OA \times OH & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ même sens} \\ -OA \times OH & \text{sinon} \end{cases}

Expression 3 — Vecteurs colinéaires

Propriété

Même sens :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|

Sens contraire :

u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|

Cas particulier : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2

3. Propriétés du produit scalaire

Orthogonalité

Théorème — Lien avec le produit scalaire

u⃗⊥v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Convention : le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Opérations algébriques (admises)

Propriétés — Bilinéarité et symétrie

  • Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Bilinéarité : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • Homogénéité : (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})

Identités remarquables

(u⃗+v⃗)2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2(\vec{u} + \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2
(u⃗−v⃗)2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2(\vec{u} - \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2
(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2

4. Expression analytique (coordonnées)

Propriété — Expression avec coordonnées

Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y)\vec{u}(x\,;\,y) et v⃗(x′ ; y′)\vec{v}(x'\,;\,y') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

⚠️ Valable uniquement dans un repère orthonormé.

Formules de polarisation

Propriété

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)=12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)

5. Théorème d'Al-Kashi

Théorème (généralisation de Pythagore)

Dans un triangle ABCABC quelconque :

BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)

💡 Si BAC^=90°\widehat{BAC} = 90°, on retrouve le théorème de Pythagore (cos⁡90°=0\cos 90° = 0).

Méthode — Calculer un angle ou une longueur

  1. Identifier les côtés et l'angle mis en jeu
  2. Appliquer la formule d'Al-Kashi
  3. Isoler l'inconnue (longueur ou cosinus)

6. Applications en géométrie analytique

Vecteur normal et équation de droite

Définition — Vecteur normal

Un vecteur normal à une droite dd est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de dd.

Théorème — Équation de droite et vecteur normal

La droite dd admet n⃗(a ; b)\vec{n}(a\,;\,b) pour vecteur normal si et seulement si elle admet une équation cartésienne :

ax+by+c=0(c∈R)ax + by + c = 0 \quad (c \in \mathbb{R})

Un vecteur directeur de dd est alors u⃗(−b ; a)\vec{u}(-b\,;\,a).

Propriété — Droite passant par A de vecteur normal n

M(x ; y)∈d⟺AM→⋅n⃗=0M(x\,;\,y) \in d \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0

Équation d'un cercle

Propriété — Cercle de centre A et rayon R

(x−xA)2+(y−yA)2=R2(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2

Propriété — Cercle de diamètre [AB]

Le cercle de diamètre [AB][AB] est l'ensemble des points MM tels que :

MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0

C'est le lieu des points MM à partir desquels [AB][AB] est vu sous un angle droit.

Récapitulatif — À retenir absolument

Norme\text{Norme}∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}
Prod. scalaire\text{Prod. scalaire}u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})
Analytique\text{Analytique}u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'
Orthogonaliteˊ\text{Orthogonalité}u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0
Al-Kashi\text{Al-Kashi}BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A^BC^2 = AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\hat{A}
Vect. normal\text{Vect. normal}ax+by+c=0⇔n⃗(a ;b) normalax+by+c=0 \Leftrightarrow \vec{n}(a\,;b)\text{ normal}
Cercle\text{Cercle}(x−xA)2+(y−yA)2=R2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2
Diam. [AB]\text{Diam. [AB]}MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0

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