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Terminale Spécialité Mathématiques · Orthogonalité, vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

1. Définition et expressions

Définitions équivalentes

Pour deux vecteurs u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} non nuls d'angle θ\theta :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

En coordonnées dans une base orthonormée (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), avec u⃗(x,y,z)\vec{u}(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x',y',z') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

Norme : ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

2. Propriétés

Règles de calcul

  • Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}
  • Bilinéarité : (αu⃗+βw⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)+β(w⃗⋅v⃗)(\alpha \vec{u} + \beta \vec{w})\cdot \vec{v} = \alpha(\vec{u}\cdot\vec{v}) + \beta(\vec{w}\cdot\vec{v})
  • u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2
  • Identités : ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

3. Orthogonalité

Critère

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Une droite Δ\Delta est orthogonale à un plan P\mathcal{P} si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs directeurs (non colinéaires) de P\mathcal{P}.

4. Vecteur normal et équation d'un plan

Vecteur normal

Un vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan P\mathcal{P} s'il est orthogonal à tout vecteur de P\mathcal{P}.

Équation cartésienne

Un plan de vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec{n}(a,b,c) passant par A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) admet pour équation :

a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
  ⟺  ax+by+cz+d=0(d=−ax0−by0−cz0)\iff ax + by + cz + d = 0 \quad (d = -ax_0 - by_0 - cz_0)

Réciproquement, toute équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0)(a,b,c) \neq (0,0,0) représente un plan de normal n⃗(a,b,c)\vec{n}(a,b,c).

5. Distance d'un point à un plan

Formule

La distance du point A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) au plan P:ax+by+cz+d=0\mathcal{P} : ax+by+cz+d=0 est :

d(A,P)=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d(A, \mathcal{P}) = \dfrac{|a x_A + b y_A + c z_A + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

6. Projection orthogonale

Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal HH de AA sur P\mathcal{P} est l'intersection de P\mathcal{P} et de la droite passant par AA de vecteur directeur n⃗\vec{n}.

AH=d(A,P)AH = d(A, \mathcal{P}).

Récapitulatif — À retenir absolument

u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot \vec{v}∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \cos\theta
Analytique\text{Analytique}xx′+yy′+zz′xx' + yy' + zz'
u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 0
∥u⃗∥\|\vec{u}\|x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Plan (normal)\text{Plan (normal)}ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
n⃗(a,b,c)\vec{n}(a,b,c)vecteur normal\text{vecteur normal}

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