Maths4ème

Théorème de Pythagore

4ème · Théorème direct, réciproque et contraposée

1. Hypoténuse

Définition

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , l'hypoténuse est $[BC]$ .

Énoncé

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors :

BC^2 = AB^2 + AC^2

Usage : calculer une longueur quand on connaît les deux autres.

Exemple — calcul de l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle en $A$ , $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm :

BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

Donc $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Exemple — calcul d'un côté de l'angle droit

Rectangle en $A$ , $BC = 13$ cm et $AB = 5$ cm :

13^2 = 5^2 + AC^2 \Rightarrow 169 - 25 = AC^2 \Rightarrow AC^2 = 144

Donc $AC = 12$ cm.

Énoncé

Si dans un triangle $ABC$ , l'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ est vérifiée, alors le triangle est rectangle en $A$ .

Usage : prouver qu'un triangle est rectangle.

Méthode :

Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ .

Quand utiliser Pythagore ?

\text{Rectangle en } A

BC^2 = AB^2 + AC^2

\text{R\'eciproque}

BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow \text{rectangle}

\text{Contrapos\'ee}

BC^2 \neq AB^2 + AC^2 \Rightarrow \text{non rectangle}

\text{Hypot\'enuse}

\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle droit}

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