Maths3ème

Pythagore & trigonométrie

3ème · Théorème de Pythagore, réciproque et trigonométrie du triangle rectangle

1. Théorème de Pythagore

Énoncé

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors :

BC^2 = AB^2 + AC^2

$[BC]$ est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, toujours le plus grand).

Usage : calculer un côté quand on connaît les deux autres.

Énoncé

Si dans un triangle $ABC$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle est rectangle en $A$ .

Usage : prouver qu'un triangle est rectangle.

Méthode : calculer séparément $BC^2$ et $AB^2 + AC^2$ , puis comparer.

Non rectangle

Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ .

Définitions

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , pour l'angle aigu $\hat A$ :

\cos \hat A = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin \hat A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

\tan \hat A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA.

Méthode

Pour une longueur : identifier le côté cherché et le côté connu, choisir cos/sin/tan selon leur position par rapport à l'angle.

Pour un angle : utiliser les fonctions réciproques $\cos^{-1}, \sin^{-1}, \tan^{-1}$ de la calculatrice.

Exemple : $\sin \hat A = \tfrac{3}{5} \Rightarrow \hat A = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87^\circ$ .

\text{Pythagore}

BC^2 = AB^2 + AC^2

\text{R\'eciproque}

BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow \text{rectangle}

\cos \hat A

\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}

\sin \hat A

\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}

\tan \hat A

\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}

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