Maths3ème

Racines carrées

3ème · Définition, règles de calcul et simplification

1. Définition

Racine carrée

La racine carrée d'un nombre $a \geq 0$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ :

\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{a})^2 = a

Attention : $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$ .

Exemples : $\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$ , $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{25} = 5$ , $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ .

À connaître

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline n^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81 & 100 \\ \hline \end{array}

$11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ .

Propriétés

Pour $a, b \geq 0$ :

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}

\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \quad (b > 0)

(\sqrt{a})^2 = a \quad ; \quad \sqrt{a^2} = |a|

Faux en général : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ .

Méthode

Pour simplifier $\sqrt{a}$ , extraire le plus grand carré parfait diviseur de $a$ :

\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

Une expression est simplifiée si le nombre sous la racine ne contient plus de facteur carré parfait (autre que 1).

Somme de radicaux

On peut additionner les radicaux de même indice :

3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

Sinon, simplifier d'abord : $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .

Rationaliser un dénominateur

Pour éliminer une racine au dénominateur :

\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}

Exemple : $\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{a}

a \geq 0,\; (\sqrt{a})^2 = a

\sqrt{a^2}

|a|

\sqrt{a} \times \sqrt{b}

\sqrt{ab}

\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}\; (b>0)

\sqrt{a+b}

\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}

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