AppelerS'inscrire
Ressources
Maths1ère SpéChapitre 1

Le second degré

1ère Spécialité Mathématiques · Cours concis · Sans démonstration

1. Polynôme du second degré

Définition

Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

avec a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} et a≠0a \neq 0.

  • aa : coefficient dominant (terme en x2x^2)
  • bb : coefficient du terme en xx
  • cc : constante — ordonnée à l'origine : f(0)=cf(0) = c

2. Les trois formes du trinôme

a) Forme développée (standard)

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

Forme de départ, utile pour lire directement aa, bb, cc.

b) Forme canonique

Propriété

Tout trinôme admet une forme canonique :

f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

avec :

α=−b2aβ=f(α)=c−b24a\alpha = -\dfrac{b}{2a} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}

Le sommet de la parabole est le point S(α ; β)S\left(\alpha\,;\,\beta\right).

c) Forme factorisée

Propriété

Si le trinôme admet deux racines réelles x1x_1 et x2x_2 :

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

⚠️ Cette forme n'existe que si Δ≥0\Delta \geq 0 (voir §4).

3. Relations entre racines et coefficients

Théorème — Somme et produit des racines

Si x1x_1 et x2x_2 sont les deux racines réelles de ax2+bx+cax^2 + bx + c :

x1+x2=−bax1×x2=cax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

💡 Utile pour vérifier un résultat ou reconstituer un trinôme depuis ses racines.

4. Résoudre f(x)=0f(x) = 0 — Le discriminant

Définition — Discriminant

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Théorème — Résolution selon le signe de Δ

Signe de Δ\DeltaRacinesValeur(s)
Δ>0\Delta > 02 racines réelles distinctesx1=−b−Δ2ax_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
x2=−b+Δ2ax_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Δ=0\Delta = 01 racine doublex0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}
Δ<0\Delta < 0Aucune racine réellef(x)f(x) ne s'annule pas sur R\mathbb{R}

5. Variations et courbe représentative

Propriété — Axe de symétrie et sommet

La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation :

x=α=−b2ax = \alpha = -\dfrac{b}{2a}

et un sommet S(α ; β)S(\alpha\,;\,\beta).

x−∞α+∞a>0  :  f(x)+∞↘βmin⁡↗+∞a<0  :  f(x)−∞↗βmax⁡↘−∞\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline a > 0 \;:\; f(x) & +\infty & \searrow & \beta_{\min} & \nearrow & +\infty \\ \hline a < 0 \;:\; f(x) & -\infty & \nearrow & \beta_{\max} & \searrow & -\infty \\ \hline \end{array}

Mémo — Signe de a et forme de la parabole

😊

a>0a > 0

Parabole souriante
Ouverte vers le haut
Minimum en SS

|
☹️

a<0a < 0

Parabole triste
Ouverte vers le bas
Maximum en SS

6. Tableau de signes de f(x)f(x)

Règle fondamentale

En dehors des racines, f(x)f(x) est du signe de aa. Entre les racines (si Δ>0\Delta > 0), f(x)f(x) est du signe de −a-a.

Cas Δ>0\Delta > 0 — deux racines x1<x2x_1 < x_2

x−∞x1x2+∞a>0++0−0++a<0−−0+0−−\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline a > 0 & {\color{green}+} & {\color{green}+} & 0 & {\color{red}-} & 0 & {\color{green}+} & {\color{green}+} \\ \hline a < 0 & {\color{red}-} & {\color{red}-} & 0 & {\color{green}+} & 0 & {\color{red}-} & {\color{red}-} \\ \hline \end{array}

Cas Δ≤0\Delta \leq 0

Propriété

  • Δ=0\Delta = 0 : f(x)f(x) est du signe de aa pour tout x≠x0x \neq x_0, et f(x0)=0f(x_0) = 0.
  • Δ<0\Delta < 0 : f(x)f(x) est du signe de aa pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} — ne s'annule jamais.

7. Méthodologie — Résoudre ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Méthode en 4 étapes

  1. Identifier aa, bb, cc (vérifier a≠0a \neq 0)
  2. Calculer Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
  3. Conclure selon le signe de Δ\Delta :
    Δ>0\Delta > 0 → deux solutions :
    x1=−b−Δ2ax2=−b+Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
    Δ=0\Delta = 0 → une solution double :
    x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}
    Δ<0\Delta < 0 → aucune solution réelle.
  4. Vérifier avec les relations de Viète : x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} et x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}

Récapitulatif — À retenir absolument

FormecanoniqueForme canoniquea(x−α)2+βa(x-\alpha)^2 + \beta
SommetSommetS(α ; β),α=−b2aS(\alpha\,;\,\beta),\quad \alpha = -\frac{b}{2a}
DiscriminantDiscriminantΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Δ>0\Delta > 0x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
Δ=0\Delta = 0x0=−b2a (racine double)x_0 = -\frac{b}{2a}\text{ (racine double)}
Δ<0\Delta < 0Aucune racine reˊelle\text{Aucune racine réelle}
Somme des racines\text{Somme des racines}x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
Produit des racines\text{Produit des racines}x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
😊

a>0a > 0 → min

☹️

a<0a < 0 → max

Tu veux travailler ce chapitre avec un tuteur grande école ?

Réserver ma 1h offerte →