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Sommes de VA & concentration

Terminale Spécialité Mathématiques · Linéarité de l'espérance, variance d'une somme, inégalités et loi des grands nombres

1. Linéarité de l'espérance

Théorème

Pour deux variables aléatoires $X, Y$ (même si dépendantes) et $a, b \in \mathbb{R}$ :

E(aX + b) = a E(X) + b

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Généralisation : $E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)$ .

Propriétés

V(aX + b) = a^2 V(X)

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes :

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Pour $n$ VA indépendantes : $V(X_1 + \cdots + X_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n)$ .

Cadre

Soient $X_1, \dots, X_n$ des VA indépendantes de même loi (i.i.d.), d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ .

Somme : $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ . Moyenne : $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ .

E(S_n) = n\mu \quad ; \quad V(S_n) = n\sigma^2

E(M_n) = \mu \quad ; \quad V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}

Inégalité de Markov

Si $X$ est une VA à valeurs positives et $a > 0$ :

P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute VA $X$ d'espérance $\mu$ et tout $\varepsilon > 0$ :

P\big(|X - \mu| \geq \varepsilon\big) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

Appliquée à la moyenne $M_n$ :

P\big(|M_n - \mu| \geq \varepsilon\big) \leq \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}

Théorème

Pour toute suite de VA i.i.d. d'espérance $\mu$ et de variance finie, et pour tout $\varepsilon > 0$ :

\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geq \varepsilon\big) = 0

Interprétation : la moyenne empirique se concentre autour de l'espérance quand $n$ augmente — socle théorique des simulations et des sondages.

E(X+Y)

E(X) + E(Y)

V(aX+b)

a^2 V(X)

V(X+Y)_{\text{indép.}}

V(X) + V(Y)

\text{Moyenne}\; M_n

\dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}

E(M_n)

\mu

V(M_n)

\dfrac{\sigma^2}{n}

\text{Markov}

P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a}

\text{Bienaym\'e-Tch.}

P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

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