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Maths2nde

Statistiques

2nde · Moyenne, médiane, quartiles, variance et écart-type

1. Moyenne

Définition

Pour une série de nn valeurs x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n :

xˉ=x1+x2+⋯+xnn=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

Moyenne pondérée (effectifs nin_i) :

xˉ=n1x1+n2x2+⋯+npxpn1+n2+⋯+np\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \cdots + n_p}

2. Médiane

Définition

La médiane MeM_e est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins 50% des valeurs sont ≤ MeM_e, et au moins 50% sont ≥ MeM_e.

  • Si nn est impair : médiane = valeur de rang n+12\tfrac{n+1}{2}.
  • Si nn est pair : médiane = moyenne des valeurs de rangs n2\tfrac{n}{2} et n2+1\tfrac{n}{2}+1.

3. Quartiles

Définitions

  • Premier quartile Q1Q_1 : plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données sont ≤ Q1Q_1.
  • Troisième quartile Q3Q_3 : plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données sont ≤ Q3Q_3.
  • Écart interquartile : Q3−Q1Q_3 - Q_1 (mesure de dispersion autour de la médiane).

4. Variance et écart-type

Définitions

La variance mesure la dispersion autour de la moyenne :

V=1n∑i=1n(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données :

σ=V\sigma = \sqrt{V}

Plus σ\sigma est grand, plus la série est dispersée autour de xˉ\bar{x}.

5. Résumés statistiques

Deux approches

  • Couple (moyenne, écart-type) : adapté aux séries symétriques, sensible aux valeurs extrêmes.
  • Couple (médiane, écart interquartile) : robuste aux valeurs extrêmes, utile pour des séries asymétriques.

Représentation graphique : diagramme en boîte (boîte à moustaches) avec Q1,Me,Q3Q_1, M_e, Q_3, minimum et maximum.

Récapitulatif — À retenir absolument

xˉ\bar{x}1n∑i=1nxi\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
xˉ pondeˊreˊe\bar{x} \text{ pond\'er\'ee}∑nixi∑ni\dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}
VV1n∑(xi−xˉ)2\dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2
σ\sigmaV\sqrt{V}
Meˊdiane\text{M\'ediane}50% au-dessous\text{50\% au-dessous}
Q1,Q3Q_1, Q_325%, 75%\text{25\%, 75\%}
Eˊcart interquartile\text{\'Ecart interquartile}Q3−Q1Q_3 - Q_1

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