Maths1ère SpéChapitre 7

Suites numériques

1ère Spécialité Mathématiques · Cours concis · Sans démonstration

1. Notion de suite

Définition

Une suite $(u_n)$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ .

$u_n$ est le terme général (un réel), $n$ est l'indice ou le rang.

Deux modes de définition

Formule explicite

$u_n$ est donné directement en fonction de $n$ .

Exemple : $u_n = n^2 + 2n + 3$

Avantage : calcul direct de n'importe quel terme.

Relation de récurrence

On définit $u_0$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Exemple : $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 3u_n + 1$

Pour calculer $u_{17}$ , il faut tous les termes précédents.

2. Sens de variation d'une suite

Définition

$(u_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \leq u_{n+1}$
$(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \geq u_{n+1}$

3 méthodes pour étudier les variations

Méthode 1 — Signe de u_{n+1} − u_n

u_{n+1} - u_n \geq 0 \Rightarrow \text{croissante} \qquad u_{n+1} - u_n \leq 0 \Rightarrow \text{décroissante}

⚠️ Il faut étudier ce signe pour tout $n \in \mathbb{N}$ , avec la variable $n$ .

Méthode 2 — Monotonie de la fonction associée

Si $u_n = f(n)$ et $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[0\,;+\infty[$ , alors $(u_n)$ est croissante (resp. décroissante).

Méthode 3 — Rapport u_{n+1}/u_n (termes > 0)

\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Rightarrow \text{croissante} \qquad \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \Rightarrow \text{décroissante} \qquad \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 \Rightarrow \text{constante}

3. Suites arithmétiques

Définition

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_{n+1} = u_n + r

Propriété — Formule explicite

u_n = u_0 + nr \qquad \text{ou plus généralement} \qquad u_n = u_p + (n-p)r

Propriété — Sens de variation

Raison $r$	Sens de variation
$r > 0$	Strictement croissante
$r = 0$	Constante
$r < 0$	Strictement décroissante

Méthode — Montrer qu'une suite est arithmétique

Calculer $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n$ et vérifier que le résultat est une constante.

4. Suites géométriques

Définition

$(u_n)$ est géométrique de raison $q \neq 0$ si pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_{n+1} = q \times u_n

Propriété — Formule explicite

u_n = u_0 \times q^n \qquad \text{ou plus généralement} \qquad u_n = u_p \times q^{n-p}

Théorème — Sens de variation (q > 0)

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & q > 1 & q = 1 & 0 < q < 1 \\ \hline u_0 > 0 & \nearrow\text{ stricte} & \text{constante} & \searrow\text{ stricte} \\ \hline u_0 < 0 & \searrow\text{ stricte} & \text{constante} & \nearrow\text{ stricte} \\ \hline u_0 = 0 & \multicolumn{3}{c|}{\text{constante } = 0} \\ \hline \end{array}

Méthode — Montrer qu'une suite est géométrique

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et montrer qu'il existe un réel $q$ tel que $u_{n+1} = q \times u_n$ .

5. Sommes de termes

a) Somme des entiers de 1 à n

Propriété

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}

b) Somme d'une suite arithmétique

Propriété — Somme de termes consécutifs

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :

u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}

On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier.

c) Somme des puissances successives d'un réel

Propriété — Suite géométrique (q ≠ 1)

1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Si $q = 1$ : $1 + 1 + \cdots + 1 = n + 1$ .

Propriété — Somme d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et de premier terme $u_0$ :

u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Récapitulatif — À retenir absolument

\text{Arithm. — Def.}

u_{n+1} = u_n + r

\text{Arithm. — Expl.}

u_n = u_0 + nr

\text{Géom. — Def.}

u_{n+1} = q \times u_n

\text{Géom. — Expl.}

u_n = u_0 \times q^n

\text{Somme entiers}

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}

\text{Somme géom.}

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

\text{Variation (diff.)}

u_{n+1} - u_n \geq 0 \Rightarrow \nearrow

\text{Variation (ratio)}

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Rightarrow \nearrow \text{ (si } u_n > 0)

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