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Suites — limites & récurrence

Terminale Spécialité Mathématiques · Limites, convergence, comparaison et raisonnement par récurrence

1. Limite d'une suite

Définitions

  • Convergente vers ℓ\ell : lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell
  • Divergente vers +∞+\infty : lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty
  • Une suite qui n'a pas de limite est divergente (ex. : un=(−1)nu_n = (-1)^n).

2. Opérations sur les limites

Règles usuelles

  • Somme, produit, quotient comme pour les fonctions.
  • Formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}.
  • Limite d'une suite géométrique (qn)(q^n) :
qq≤−1−1<q<1q=1q>1lim⁡qnpas de limite01+∞\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline q & q \leq -1 & -1 < q < 1 & q = 1 & q > 1 \\ \hline \lim q^n & \text{pas de limite} & 0 & 1 & +\infty \\ \hline \end{array}

3. Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison

Si un≤vnu_n \leq v_n à partir d'un certain rang :

  • Si lim⁡un=+∞\lim u_n = +\infty, alors lim⁡vn=+∞\lim v_n = +\infty.
  • Si lim⁡vn=−∞\lim v_n = -\infty, alors lim⁡un=−∞\lim u_n = -\infty.

Théorème des gendarmes

Si vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n et lim⁡vn=lim⁡wn=ℓ\lim v_n = \lim w_n = \ell, alors lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ell.

4. Convergence monotone

Théorème

  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.
  • Toute suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty.

5. Raisonnement par récurrence

Principe

Pour montrer P(n)P(n) vraie pour tout n≥n0n \geq n_0 :

  1. Initialisation : vérifier P(n0)P(n_0).
  2. Hérédité : supposer P(n)P(n) vraie (HR) et démontrer P(n+1)P(n+1).
  3. Conclusion : par récurrence, P(n)P(n) vraie pour tout n≥n0n \geq n_0.

Récapitulatif — À retenir absolument

lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ellconvergente\text{convergente}
lim⁡un=±∞\lim u_n = \pm\inftydivergente vers l’infini\text{divergente vers l'infini}
q>1q > 1lim⁡qn=+∞\lim q^n = +\infty
∣q∣<1|q| < 1lim⁡qn=0\lim q^n = 0
Comparaison\text{Comparaison}un≤vn⇒lim⁡un≤lim⁡vnu_n \leq v_n \Rightarrow \lim u_n \leq \lim v_n
Gendarmes\text{Gendarmes}vn≤un≤wn,  lim⁡vn=lim⁡wn=ℓv_n \leq u_n \leq w_n,\; \lim v_n = \lim w_n = \ell
Monotone borneˊe\text{Monotone born\'ee}⇒convergente\Rightarrow \text{convergente}
Reˊcurrence\text{R\'ecurrence}P(0) et P(n)⇒P(n+1)P(0) \text{ et } P(n)\Rightarrow P(n+1)

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