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Maths2nde

Systèmes linéaires & droites

2nde · Résolution par substitution, combinaison et interprétation graphique

1. Système linéaire 2×2

Forme générale

{ax+by=ca′x+b′y=c′\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

Résoudre, c'est trouver tous les couples (x;y)(x;y) vérifiant les deux équations simultanément.

2. Méthode de substitution

Principe

  1. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation.
  2. Remplacer dans l'autre équation.
  3. Résoudre cette équation à une inconnue.
  4. Remplacer la valeur trouvée pour obtenir l'autre inconnue.

Exemple : {x+y=72x−y=5\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} ⟹ y=7−xy = 7 - x, puis 2x−(7−x)=5⇒3x=12⇒x=4,y=32x - (7-x) = 5 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4, y = 3.

3. Méthode par combinaison

Principe

  1. Multiplier chaque équation pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés.
  2. Additionner les deux équations pour éliminer cette inconnue.
  3. Résoudre l'équation obtenue.
  4. Remplacer pour obtenir la seconde inconnue.

4. Interprétation graphique

Intersection de deux droites

Chaque équation ax+by=cax + by = c (avec (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0)) représente une droite. Le système a :

  • Une unique solution si les droites sont sécantes.
  • Aucune solution si les droites sont parallèles distinctes.
  • Une infinité de solutions si les droites sont confondues.

5. Modélisation

Mise en équations

Pour traduire un problème concret :

  1. Identifier les deux inconnues et les nommer.
  2. Traduire chaque information en équation.
  3. Résoudre le système.
  4. Vérifier la cohérence du résultat (positif, entier si nécessaire…).

Récapitulatif — À retenir absolument

Substitution\text{Substitution}exprimer une inconnue\text{exprimer une inconnue}
Combinaison\text{Combinaison}eˊliminer une inconnue\text{\'eliminer une inconnue}
Unique solution\text{Unique solution}droites seˊcantes\text{droites s\'ecantes}
Aucune solution\text{Aucune solution}droites paralleˋles distinctes\text{droites parall\`eles distinctes}
Infiniteˊ\text{Infinit\'e}droites confondues\text{droites confondues}

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