Maths3ème

Théorème de Thalès

3ème · Théorème, réciproque et agrandissement/réduction

1. Théorème de Thalès

Énoncé

Soit un triangle $ABC$ , $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC)$ . Si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Les trois rapports sont égaux. Cette propriété sert à calculer des longueurs inconnues.

Deux configurations classiques

Triangles « emboîtés » : $M$ entre $A$ et $B$ , $N$ entre $A$ et $C$ .
Papillon (ou croix) : $(BC)$ et $(MN)$ parallèles, les droites $(AB)$ et $(AC)$ se croisent en $A$ — les triangles sont de part et d'autre de $A$ .

La formule reste la même : rapports des côtés correspondants.

Énoncé

Soit un triangle $ABC$ , $M$ sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ . Si :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

et si $A, M, B$ sont dans le même ordre que $A, N, C$ , alors $(MN) \parallel (BC)$ .

Usage : prouver que deux droites sont parallèles.

Non-parallélisme

Si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$ , alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Coefficient k

Un agrandissement (ou réduction) de coefficient $k > 0$ multiplie toutes les longueurs par $k$ .

Exemple : si $k = 3$ , aires $\times 9$ , volumes $\times 27$ .

(BC)//(MN)

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

\text{R\'eciproque}

\text{\'egalit\'e des rapports} \Rightarrow //

\text{Agrandissement}

\times k,\; k > 1

\text{R\'eduction}

\times k,\; 0 < k < 1

\text{Aire}

\times k^2

\text{Volume}

\times k^3

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