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Maths3ème

Transformations & géométrie dans l'espace

3ème · Translations, rotations, homothéties et solides de l'espace

1. Translation

Définition

La translation de vecteur u⃗\vec{u} associe à chaque point MM le point M′M' tel que :

MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Elle conserve les longueurs, les angles, les aires et transforme une droite en une droite parallèle.

2. Rotation

Définition

La rotation de centre OO et d'angle α\alpha (dans un sens) associe à M≠OM \neq O le point M′M' tel que :

  • OM′=OMOM' = OM
  • L'angle MOM′^\widehat{MOM'} vaut α\alpha dans le sens choisi.

La rotation conserve les longueurs, les angles et les aires.

3. Homothétie

Définition

L'homothétie de centre OO et de rapport k≠0k \neq 0 associe à MM le point M′M' tel que :

OM′→=k×OM→\overrightarrow{OM'} = k \times \overrightarrow{OM}
  • k>1k > 1 : agrandissement.
  • 0<k<10 < k < 1 : réduction.
  • k<0k < 0 : image de l'autre côté du centre.
  • Longueurs ×∣k∣\times |k|, aires ×k2\times k^2, volumes ×∣k∣3\times |k|^3.

4. Prismes, cylindres, pyramides, cônes

Volumes

SolideVolume
Prisme droit\text{Prisme droit}Abase×h\mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Cylindre\text{Cylindre}πR2×h\pi R^2 \times h
Pyramide\text{Pyramide}13Abase×h\tfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Coˆne\text{C\^one}13πR2×h\tfrac{1}{3} \pi R^2 \times h
Boule\text{Boule}43πR3\tfrac{4}{3} \pi R^3

5. Sections de solides

Sections planes

  • Pavé par un plan parallèle à une face : rectangle identique à la face.
  • Cylindre par un plan // à la base : disque identique à la base.
  • Cône par un plan // à la base : disque (réduction).
  • Pyramide par un plan // à la base : réduction de la base.
  • Sphère par un plan : cercle (ou un point si tangent).

Récapitulatif — À retenir absolument

Translation\text{Translation}MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}
Rotation\text{Rotation}centre, angle, sens\text{centre, angle, sens}
Homotheˊtie\text{Homoth\'etie}OM′⃗=k OM⃗\vec{OM'} = k\,\vec{OM}
VprismeV_{\text{prisme}}Abase×h\mathcal{A}_{\text{base}} \times h
VpyramideV_{\text{pyramide}}13Abase×h\tfrac{1}{3}\mathcal{A}_{\text{base}} \times h
VbouleV_{\text{boule}}43πR3\tfrac{4}{3}\pi R^3

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