1. Vocabulaire
Triangles particuliers
- Triangle isocèle : deux côtés de même longueur.
- Triangle équilatéral : trois côtés de même longueur, trois angles de .
- Triangle rectangle : un angle droit ().
- Triangle quelconque : aucune propriété particulière.
2. Inégalité triangulaire
Propriété
Dans un triangle, la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des deux autres :
Si au contraire , les points , , sont alignés (pas de triangle).
Exemple : peut-on construire un triangle de côtés 3, 4 et 10 cm ? Non car .
3. Somme des angles
Théorème
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut :
Exemple : si et , alors .
Dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut . Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme .
4. Construction d'un triangle
Méthodes
- 3 longueurs : tracer un côté, puis deux arcs de cercle au compas dont les rayons sont les deux autres longueurs.
- 2 côtés + 1 angle : tracer l'angle au rapporteur, puis reporter les longueurs.
- 1 côté + 2 angles : tracer le côté, puis les deux angles à ses extrémités au rapporteur.
Avant de construire, vérifier l'inégalité triangulaire (si 3 longueurs) ou que la somme des angles est inférieure à .
5. Droites remarquables
Dans un triangle
- Médiane : droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
- Hauteur : droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
- Médiatrice d'un côté : droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu.
- Bissectrice d'un angle : droite qui partage l'angle en deux parts égales.
Les trois médianes se coupent en un même point (centre de gravité). Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit. Les trois hauteurs se coupent en un point (orthocentre).
Récapitulatif — À retenir absolument
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