Maths2nde

Trigonométrie — triangle rectangle

2nde · Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu et relations fondamentales

1. Définitions dans un triangle rectangle

Cosinus, sinus, tangente

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , pour l'angle aigu $\hat A$ :

\cos \hat A = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{AB}

\sin \hat A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{BC}{AB}

\tan \hat A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{BC}{AC}

Moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA.

Tableau

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{angle} & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \cos & \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \hline \sin & \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline \tan & \tfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\ \hline \end{array}

Propriétés

Pour tout angle aigu $x$ :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \quad (\cos x \neq 0)

Ces deux relations permettent, connaissant $\cos x$ ou $\sin x$ , de retrouver les autres.

Méthodologie

Pour calculer une longueur : identifier le côté connu, celui cherché, l'angle. Choisir cos, sin ou tan en fonction.

Pour calculer un angle : utiliser les fonctions réciproques $\cos^{-1}, \sin^{-1}, \tan^{-1}$ (touches acos, asin, atan).

Exemple : si $\cos \hat A = 0{,}6$ , alors $\hat A = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ$ .

Valeurs pour un angle aigu

Pour tout angle $x$ aigu ( $0 < x < 90^\circ$ ) :

0 < \cos x < 1 \quad ; \quad 0 < \sin x < 1 \quad ; \quad \tan x > 0

\cos \hat A

\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}

\sin \hat A

\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}

\tan \hat A

\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}

\cos^2 x + \sin^2 x

1

\tan x

\dfrac{\sin x}{\cos x}

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