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Maths1ère Spé

Trigonométrie

1ère Spécialité Mathématiques · Radians, cercle trigonométrique, valeurs remarquables

1. Mesure d'un angle en radians

Définition — Radian

Un radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Pour un cercle de rayon RR :

θ (rad)=longueur de l’arcR\theta \text{ (rad)} = \dfrac{\text{longueur de l'arc}}{R}

Un tour complet = 2π2\pi rad = 360°360°.

Conversions degrés ↔ radians

rad=degreˊs×π180degreˊs=rad×180π\text{rad} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180} \qquad \text{degrés} = \text{rad} \times \dfrac{180}{\pi}
Degrés0°0°30°30°45°45°60°60°90°90°180°180°270°270°360°360°
Radians00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi3π2\dfrac{3\pi}{2}2π2\pi

2. Cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11, orienté dans le sens direct (antihoraire).

Pour tout réel xx, le point MM associé à xx est l'image du point (1,0)(1, 0) par la rotation d'angle xx. Ses coordonnées sont :

M=(cos⁡x ; sin⁡x)M = (\cos x \,;\, \sin x)

Définition — Cosinus et sinus d'un réel

  • cos⁡x\cos x est l'abscisse du point MM sur le cercle trigonométrique
  • sin⁡x\sin x est l'ordonnée du point MM sur le cercle trigonométrique
  • tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} pour cos⁡x≠0\cos x \neq 0

3. Valeurs remarquables

Tableau des valeurs à connaître par cœur

xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi
cos⁡x\cos x1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00−1-1
sin⁡x\sin x0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}1100
tan⁡x\tan x0013\dfrac{1}{\sqrt{3}}113\sqrt{3}∄\nexists00

💡 Astuce : cos⁡\cos et sin⁡\sin des valeurs remarquables valent 0,12,22,32,10, \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}, 1 dans un ordre ou l'autre.

4. Relations fondamentales

Relation de Pythagore

cos⁡2x+sin⁡2x=1∀x∈R\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}

Propriétés — Parité et périodicité

Parité :

  • cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x (fonction paire)
  • sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x (fonction impaire)
  • tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x (fonction impaire)

Périodicité :

  • cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x (période 2π2\pi)
  • sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x (période 2π2\pi)
  • tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x + \pi) = \tan x (période π\pi)

Autres relations utiles

cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x
sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi + x) = -\sin x
cos⁡ ⁣(π2−x)=sin⁡x\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
sin⁡ ⁣(π2−x)=cos⁡x\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x
cos⁡ ⁣(π2+x)=−sin⁡x\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x
sin⁡ ⁣(π2+x)=cos⁡x\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x

5. Formules d'addition (admises)

Propriété — Formules à connaître

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Cas particulier — Formules de duplication

cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = 2\sin a \cos a

Récapitulatif — À retenir absolument

Identiteˊ\text{Identité}cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1
Pariteˊ\text{Parité}cos⁡(−x)=cos⁡x  ,  sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=\cos x \;,\; \sin(-x)=-\sin x
Peˊriode\text{Période}2π pour cos et sin,  π pour tan2\pi \text{ pour cos et sin},\; \pi \text{ pour tan}
cos⁡(π/3)\cos(\pi/3)12sin⁡(π/3)=32\tfrac{1}{2} \quad \sin(\pi/3) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(π/4)\cos(\pi/4)sin⁡(π/4)=22\sin(\pi/4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡(π/6)\cos(\pi/6)32sin⁡(π/6)=12\tfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \sin(\pi/6) = \tfrac{1}{2}
cos⁡(a+b)\cos(a+b)cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos a\cos b - \sin a\sin b
sin⁡(a+b)\sin(a+b)sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin a\cos b + \cos a\sin b

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