Maths1ère Spé

Variables aléatoires

1ère Spécialité Mathématiques · Loi, espérance, variance, loi binomiale

1. Variable aléatoire discrète

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel.

On note $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ l'ensemble des valeurs prises par $X$ .

Définition — Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ est le tableau donnant, pour chaque valeur $x_i$ , la probabilité $P(X = x_i)$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x_i) & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}

avec $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$ (la somme des probabilités vaut toujours 1).

2. Espérance

Définition — Espérance mathématique

L'espérance de $X$ , notée $E(X)$ , est la moyenne pondérée des valeurs de $X$ :

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

C'est la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre d'expériences.

Propriétés de l'espérance (admises)

$E(aX + b) = aE(X) + b$ pour tous réels $a, b$
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (linéarité)
Si $X$ est constante égale à $c$ : $E(X) = c$

3. Variance et écart-type

Définition — Variance

La variance de $X$ , notée $V(X)$ , mesure la dispersion autour de l'espérance :

V(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = \sum_{i=1}^{n} p_i\,(x_i - E(X))^2

Formule équivalente (souvent plus rapide à calculer) :

V(X) = E(X^2) - \bigl[E(X)\bigr]^2

Définition — Écart-type

L'écart-type de $X$ , noté $\sigma(X)$ , est :

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Il s'exprime dans la même unité que $X$ (contrairement à la variance).

Propriétés de la variance (admises)

$V(X) \geq 0$ et $V(X) = 0 \Leftrightarrow X \text{ est constante}$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$ (la translation ne change pas la variance)
$\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$

4. Loi de Bernoulli

Définition — Épreuve et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience à deux issues :

Succès (S) de probabilité $p$
Échec ( $\bar{S}$ ) de probabilité $1-p = q$

La variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 \\ \hline P(X=x_i) & 1-p & p \\ \hline \end{array}

E(X) = p

V(X) = p(1-p)

\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}

5. Loi binomiale

Définition — Schéma de Bernoulli et loi binomiale

On répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , de façon indépendante. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

Propriété — Probabilité

Pour $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ :

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

avec le coefficient binomial :

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Propriété — Espérance, variance, écart-type de B(n,p)

Espérance

E(X) = np

Variance

V(X) = np(1-p)

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

6. Coefficients binomiaux

Propriétés à connaître

\binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n \qquad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Triangle de Pascal (relation de Pascal) :

\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}

Méthode — Calculer P(X ≤ k) ou P(X ≥ k)

$P(X \leq k) = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} P(X=i)$
$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

💡 La calculatrice dispose de fonctions binomFDP (probabilité exacte) et binomFRép (probabilité cumulée).

Récapitulatif — À retenir absolument

E(X)

\displaystyle\sum x_i p_i

V(X)

E(X^2) - [E(X)]^2

\sigma(X)

\sqrt{V(X)}

\text{Bernoulli}\;\mathcal{B}(p)

E=p,\; V=p(1-p)

\mathcal{B}(n,p)

X = \text{nb succès sur } n \text{ épreuves}

P(X=k)

\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

E(X)_{\mathcal{B}(n,p)}

np

V(X)_{\mathcal{B}(n,p)}

np(1-p)

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